Question

19．如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3$\sqrt{3}$）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，$\sqrt{3}$，2（长度单位/秒）﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以$\frac{\sqrt{3}}{3}$（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，∠BAO=60°；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；当t﹦$\frac{9}{2}$，点P与点E重合；
（3）作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

Answer 1

分析 （1）设过A，B两点的直线解析式是y=kx+b，利用待定系数法求出直线解析式，根据直角三角形的性质求出∠BAO；
（2）根据题意列出算式求出OP的长度即可；
（3）分点P在在AO，OB，BA上三种情况，根据菱形的判定和性质，结合锐角三角函数的定义计算即可．

解答 解：（1）设过A，B两点的直线解析式是y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3\sqrt{3}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式是y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∵∠B=30°，
∴∠BAO=60°，
故答案为：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；60°；
（2）当t﹦4时，OP=（4-3）×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
当点P与点E重合时，（t-3）×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
解得，t=$\frac{9}{2}$
∴t=$\frac{9}{2}$，点P与点E重合；
故答案为：（0，$\sqrt{3}$）；$\frac{9}{2}$；
（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP（SAS），
∴OP=PG，
又∵OE=FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，∠A=60°，
∴AG=FGtan60°=$\frac{1}{3}$t；
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=$\frac{2}{3}$t，
由3-t=$\frac{2}{3}$t，得t=$\frac{9}{5}$；
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时，
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2），则四边形PMEH是矩形，
∴PM=EH．
∵四边形PEP'F是菱形，
∴EH=FH．
∵OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴EF=BEtan60°=3-$\frac{t}{3}$，
∴MP=EH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{9-t}{6}$，又BP=2（t-6），
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•$\frac{1}{2}$=$\frac{9-t}{6}$，
解得t=$\frac{45}{7}$．

点评 本题考查的是菱形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．