Question

11．已知，点A（10，0），C（0，3），B（6，3），动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（0≤t≤5）．
（1）求点P和点Q的坐标（用“t”表示）；
（2）当t为多少时，BP=AQ？
（3）当t为多少时，PQ=AB？

Answer 1

分析 （1）根据B、C的纵坐标相同，可知BC∥OA，根据题意得CP=t，AQ=2t，则OQ=10-2t，即可得出P、Q点的坐标；
（2）当BP=AQ时，利用Q（10-2t，0）P（t，3）推出 6-t=10-2t，从而可求出t．
（2）当PQ=AB时，四边形PQAB为等腰梯形，根据勾股定理求出AB=5，再利用等腰梯形的性质可得9t²-60t+109=25，解得t即可．

解答 解：（1）∵C（0，3），B（6，3），
∴BC∥OA，
由题意可知：CP=t，AQ=2t，
∴OQ=10-2t，
∴P（t，3），Q（10-2t，0）；
（2）∵BP‖AQ，BP=AQ，
∴PQAB为平行四边形时，
∵BP=6-t，AQ=2t
∴6-t=2t
解得t=2，
∴当t=2时，BP=AQ；
（3）∵BP‖AQ，QP=AB
∴四边形PQAB为等腰梯形．
如图，过点B作BD⊥OA于点D，
∵A点坐标为（10，0），B点坐标为（6，3）．
∴DA=4，BD=3，
∴在直角△ABD中，由勾股定理知AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
PQ=$\sqrt{（10-2t-t）^{2}+（3-0）^{2}}$，
∵AB=PQ，
∴9t²-60t+109=25
9t²-60t+84=0
3t²-20t+28=0
（3t-14）（t-2）=0
解得t₁=$\frac{14}{3}$，t₂=2
又∵t=2时PQAB为平行四边形 （ （1）中已证 ）
所以t=$\frac{14}{3}$．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查等腰梯形的性质，平行四边形的性质及点的坐标等知识点．掌握平行四边形的对边平行且相等，等腰梯形两腰相等是解题的关键．化“动为静”是解决运动类问题的基本思路，即用t表示出线段的长度，从而得到关于t的方程求解．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．