Question

1．在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线DC上，EF∥AB，CF∥AD，EF与射线AC交于点G，
（1）当点E在线段DC上时（如图1），求证：∠EGC=2∠GFC；
（2）当点E在线段DC的延长线上时，在图2补全图形，并写出∠EGC与∠GFC的数量关系；
（3）在（1）的条件下，连接GD，过点D作DQ⊥DG，交AB于点Q（如图3），当∠BAC=90°，应满足∠GFC=2∠DGE时，探究∠BQD与∠DGE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质证明∠EGC=∠BAC，∠EFC=∠BAD，然后利用角平分线的定义证明；
（2）首先利用平行线的性质证明∠DAC=∠FCG，∠BAC=∠EGC，然后利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可证明∠EGC=2∠DAC，从而证得；
（3）首先证明A、G、D、Q四点共圆，然后根据圆周角定理以及平行线的性质证得．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，
∴∠EGC=∠BAC，
又∵CF∥AD，
∴∠EFC=∠BAD，
又∵AD平分∠BAD，即∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠EGC=2∠GFC；
（2）∠EGC=2∠EFC．理由是：解：∵AD∥CF，
∴∠DAC=∠FCG，
∵AB∥EF，
∴∠BAC=∠EGC，
又∵AD平分∠BAC，即∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠EGC=2∠DAC，
又∵∠EGC=∠GCF+∠GFC，
∴∠EGC=2∠EFC；
（3）∵∠BAC=90°，∠QDG=90°，
∴A、G、D、Q四点共圆．
∴∠BQD=∠AGD，
又∵EF∥AB，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGD+∠DGE=90°，
∴∠BQD+∠DGE=90°，
又∵∠EGC=2∠GFC=4∠DGE=90°，
∴∠DGE=22.5°，
∴∠BQD=67.5°，
∴∠BQD=3∠DGE．

点评 本题考查了平行线的性质以及四点共共圆和圆周角定理，注意到A、G、D、Q四点共圆是解题的关键．