Question

在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0，4），B（4，0），C为线段OP上一点，以AC为边向右作正方形ACDE，连接EB，EB与CD相交于点P．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求证：BE⊥BO；
（3）求点P到达最高位置时的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先设直线AB的解析式为：y=kx+b，由直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0，4），B（4，0），利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）首先过点E作EF⊥y轴于点F，易证得△AEF≌△CAO（AAS），则可证得四边形OBEF是矩形，则可得BE⊥BO；
（3）首先设点C（a，0），则可得OC=a，BC=OB-OC=4-a，易证得△OAC∽△BCP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得PB=-

1

4

a²+a=-

1

4

（a-2）²+1，继而求得答案．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0，4），B（4，0），
∴

b=4 4k+b=0

，
解得：

k=-1 b=4

，
∴直线AB的解析式为：y=-x+4；

（2）过点E作EF⊥y轴于点F，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AC=AE，∠EAC=90°，
∴∠EAF+∠OAC=90°，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠EAF=∠ACO，
在△AEF和△CAO中，

∠AFE=∠COA=90° ∠EAF=∠ACO AE=CA

，
∴△AEF≌△CAO（AAS），
∴EF=OA=4，AF=OC，
∴EF=OB，
∵EF∥OB，
∴四边形OBEF是平行四边形，
∵∠FOB=90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∴BE⊥BO；

（3）∵∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠BCP=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCP=∠OAC，
∵∠AOC=∠CBP=90°，
∴△OAC∽△BCP，
∴

OA

BC

=

OC

BP

，
设点C（a，0），
则OC=a，BC=OB-OC=4-a，
∴

4

4-a

=

a

PB

，
∴PB=-

1

4

a²+a=-

1

4

（a-2）²+1，
∴当a=2时，PB最大，最大值为1，
∴点P到达最高位置时的坐标为：（4，1）．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．