Question

【题目】小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论： 当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目： 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题： 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 ． （请你画出图形，并直接写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）=
（3）3或1
【解析】解：（1.）AE=DB， 理由如下：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD= ∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB，
所以答案是：=；
（2.）如图3，

∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC与△DBE中，
，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，AE=BD，
所以答案是：=；
（3.）如图4，当点E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，

则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC，而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF，
在△BDE与△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如图5，当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2﹣1=1，
所以答案是：3或1．