【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm,DE=4cm.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时,EF与CA重合),连接DF,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长;
(2)在这个运动过程中,△DEF能否为等腰三角形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由;
(3)设M、N分别是DF、EF的中点,求整个运动过程中,MN所扫过的面积.
【答案】(1)BE=(t+4)cm;EF=(t+4)cm;(2)当t=0、或秒时,△DEF为等腰三角形;(3)整个运动过程中,MN所扫过的面积为cm2.
【解析】
解:(1),
.
(2)分三种情况讨论:
①当时,
有
∴点与点重合,
∴
②当时,
∴,
解得:
③当时,
有
∴△DEF∽△ABC.
∴, 即,
解得:.
综上所述,当、或秒时,△为等腰三角形.
(3)设P是AC的中点,连接BP,
∵∥
∴△∽△.
∴∴
又∴△∽△
∴
∴点沿直线BP运动,MN也随之平移.
如图,设MN从ST位置运动到PQ位置,则四边形PQST是平行四边形.
∵、分别是、的中点,∴∥DE,且ST=MN=
分别过点T、P作TK⊥BC,垂足为K,PL⊥BC,垂足为L,延长ST交PL于点R,则四边形TKLR是矩形,
当t=0时,EF=(0+4)=TK=EF···
当t=12时,EF=AC=10,PL=AC··10·
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-
∴·PR=2×
∴整个运动过程中,MN所扫过的面积为cm2. 13分
(1)由题意得,利用相似比求出EF的长
(2)分三种情况讨论:①当时,②当时, ③当时
(3)设P是AC的中点,连接BP,通过相似证得,、分别是、的中点,求得ST="2" ,分别过点T、P作TK⊥BC,垂足为K,PL⊥BC,垂足为L,延长ST交PL于点R,则四边形TKLR是矩形,利用三角函数求得PL、TK的值,得出PR的值,从而得出结论
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若∠BAC=90°,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的情况下,点M在AC线段上移动,请直接回答,当点M移动到什么位置时,MB+MD有最小值.
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【题目】如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线形是全等的.正常水位时,大孔水面宽度为,顶点距水面,小孔顶点距水面.当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为________.
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【题目】如图,已知直线l1:y=2x+1、直线l2:y=﹣x+7,直线l1、l2分别交x轴于B、C两点,l1、l2相交于点A.
(1)求A、B、C三点坐标;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】如图,等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P,且AE=CF.
(1)求证:AF=BE,并求∠FPB的度数;
(2)若AE=2,试求AP·AF的值.
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【题目】中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情,为了引导学生“多读书,读好书”,某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查,整理调查结果发现,学生课外阅读的本书最少的有5本,最多的有8本,并根据调查结果绘制了不完整的图表,如下所示:
(1)统计表中的a=________,b=___________,c=____________;
(2)请将频数分布表直方图补充完整;
(3)求所有被调查学生课外阅读的平均本数;
(4)若该校七年级共有1200名学生,请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数.
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM上一点,EF⊥AM,垂足为F,交AD延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=6,F为AM的中点,求DN的长;
(3)若AB=12,DE=1,BM=5,求DN的长.
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【题目】如图,方格中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间的连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为(-1,-1).
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标;
(2)把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得△A2B2C2,画出△A2B2C2的图形并写出B2的坐标;
(3)把△ABC以点A为位似中心放大,使放大前后对应边的比为1∶2,画出△AB3C3的图形.
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【题目】小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏,游戏规则是:分别旋转两个转盘,若其中一个转盘转出了红色,另一个转出了蓝色,则可以配成紫色.此时小刚获胜,否则小明获胜.
(1)利用画树状图或列表法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
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