【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM上一点,EF⊥AM,垂足为F,交AD延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=6,F为AM的中点,求DN的长;
(3)若AB=12,DE=1,BM=5,求DN的长.
【答案】(1)见解析;(2)DN=;(3)DN=.
【解析】
(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DN的长;
(3)根据余角的性质得到∠BAM=∠E,根据相似三角形的性质即可得到结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF,
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,
∴△ABM∽△EFA;
(2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=6,
∴AM==6,AD=12,
∵F是AM的中点,
∴AF=AM=3,
∵△ABM∽△EFA,
∴=,
即=,
∴AE=15,
∴DE=AE﹣AD=3,
∵∠EDN=∠EFA=90°,∠E=∠E,
∴△AEF∽△NED,
∴=,
∵EF==6,
∴DN=;
(3)解:∵∠B=∠AFE=∠BAD=90°,
∴∠BAM+∠EAF=∠EAF+∠E=90°,
∴∠BAM=∠E,
∴△ABM∽△EDN,
∴,
即,
∴DN=.
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【题目】如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距离为8cm,则线段AB的长为( )
A.5 cmB.4.8 cmC.4.6 cmD.4 cm
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm,DE=4cm.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时,EF与CA重合),连接DF,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长;
(2)在这个运动过程中,△DEF能否为等腰三角形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由;
(3)设M、N分别是DF、EF的中点,求整个运动过程中,MN所扫过的面积.
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【题目】已知,如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动.
(1)当t为何值时,四边形PODB是平行四边形?
(2)在线段PB上是否存在一点Q,使得ODQP为菱形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由;
(3)△OPD为等腰三角形时,写出点P的坐标(不必写过程).
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【题目】如图,在坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,点B在y轴上,OA=1.将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,则B2017的坐标为_____________
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【题目】抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)该抛物线与直线相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;
②连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD,E是边BC上的一动点,连结DE交AC于点F,连结BF.
(1)求证:FB=FD;
(2)如图2,连结CD,点H在线段BE上(不含端点),且BH=CE,连结AH交BF于点N.
①判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论;
②连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值.
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【题目】下列事件中,是必然事件的是( )
A. 掷一次骰子,向上一面的点数是6B. 经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
C. 任意画一个三角形,其内角和是D. 射击运动员射击一次,命中靶心
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