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【题目】如图,正方形ABCD中,MBC上一点,FAM上一点,EFAM,垂足为F,交AD延长线于点E,交DC于点N

1)求证:△ABM∽△EFA

2)若AB12BM6FAM的中点,求DN的长;

3)若AB12DE1BM5,求DN的长.

【答案】1)见解析;(2DN;(3DN

【解析】

1)由正方形的性质得出ABAD∠B90°AD∥BC,得出∠AMB∠EAF,再由∠B∠AFE,即可得出结论;

2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DN的长;

3)根据余角的性质得到∠BAM∠E,根据相似三角形的性质即可得到结论.

1)证明:四边形ABCD是正方形,

∴ABAD∠B90°AD∥BC

∴∠AMB∠EAF

∵EF⊥AM

∴∠AFE90°

∴∠B∠AFE

∴△ABM∽△EFA

2)解:∵∠B90°AB12BM6

∴AM6AD12

∵FAM的中点,

∴AFAM3

∵△ABM∽△EFA

∴AE15

∴DEAEAD3

∵∠EDN∠EFA90°∠E∠E

∴△AEF∽△NED

∵EF6

∴DN

3)解:∵∠B∠AFE∠BAD90°

∴∠BAM+∠EAF∠EAF+∠E90°

∴∠BAM∠E

∴△ABM∽△EDN

∴DN

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