Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.

(1)求证：FB=FD；

(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N.

①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；

②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①AH⊥BF，见解析；②.

【解析】

（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题．

（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH=∠CBF即可解决问题．

②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可．

（1）证明：如图1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，

∴∠BAD=90°，BA=AD，

∴∠FAD=∠FAB=45°，

∵AF=AF，

∴△FAD≌△FAB（SAS），

∴BF=DF．

（2）①解：结论：AH⊥BF．

理由：如图2中，连接CD．

∵∠ABC+∠BAD=180°，

∴AD∥BC，

∵AD=AB=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCD是正方形，

∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，

∴△ABH≌△DCE（SAS），

∴∠BAH=∠CDE，

∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，

∴△CFD≌△CFB（SAS），

∴∠CDF=∠CBF，

∴∠BAH=∠CBF，

∵∠CBF+∠ABF=90°，

∴∠BAH+∠ABF=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AH⊥BF．

②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．

∵∠ANB=90°，AO=OB，

∴ON=AB=1，

在Rt△OBC中，OC=，

∵CN≥OC-ON，

∴CN≥-1，

∴CN的最小值为-1．