Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．

①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，（2，）或（，）.

【解析】

试题（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；

②当△CNQ与△PBM相似时有或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴，解得

∴该抛物线对应的函数解析式为；

（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，

∴可设P（t，）（1＜t＜5），

∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，

∴M（t，0），N（t，），

∴PN=.

联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，

∴C（0，3），D（7，），

分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，

则CE=t，DF=7﹣t，

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN·CE+PNDF=PN=，

∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，

∵CQ⊥PM，垂足为Q，

∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），

∴CQ=t，NQ=﹣3=，

∴，

∵P（t，），M（t，0），B（5，0），

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（）=，

当时，则PM=BM，即，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；

当时，则BM=PM，即5﹣t=（），解得t=或t=5（舍去），此时P（，）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或（，）．