Question

【题目】已知y1，y2分别是关于x的函数，如果函数y1和y2的图象有交点，那么称y1，y2为“亲密函数”，交点称为函数y1和y2的“亲密点”；若两函数图象有两个交点，横坐标分别是x1，x2，称L＝|x1﹣x2|为函数y1和y2的“亲密度”，特别地，若两函数图象只有一个交点，则两函数的“亲密度”L＝0．

（1）已知一次函数y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝，请判断函数y1和y2是否为“亲密函数”，若是，请写出“亲密点”及“亲密度”L，若不是，请说明理由；

（2）已知二次函数y＝ax2﹣6x+c与x轴只有一个交点，与一次函数y＝x﹣1的“亲密度”L＝3，求二次数的解析式；

（3）已知“亲密函数”y1＝ax﹣2和y2＝的“亲密度”L＝0，“亲密点”为P（x0，y0），将过P的抛物线y＝ax2+bx+c（b＞0）进行平移，点P的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1），平移后的抛物线仍经过点P，当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）“亲密点”为：（﹣，6）或（3，1）； “亲密度”L＝；（2）y＝x2﹣6x+9或y＝﹣x2﹣6x﹣；（3）（，﹣）．

【解析】

（1）联立y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝并整理得：2x2﹣5x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣，即可求解；

（2）由题意得：△＝36﹣4ac＝0，解得：ac＝9，L＝3，则L2＝9，即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，即可求解；

（3）联立y1＝ax﹣2和y2＝并整理得：ax2﹣2x+1＝0，△＝4a﹣4＝0，解得：a＝1，当a＝1时，x＝1，故点P（1，﹣1）；由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得

y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．因为平移后P（1，﹣1）的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1），可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．

则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．把（1，﹣1）代入，得（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．即可求解．

（1）联立y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝并整理得：

2x2﹣5x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣，

故“亲密点”为：（﹣，6）或（3，1）；

“亲密度”L＝3+＝；

（2）由题意得：△＝36﹣4ac＝0，解得：ac＝9，

联立y＝ax2﹣6x+c、y＝x﹣1并整理得：ax2﹣7x+c+1＝0，

则x1+x2＝，x1x2＝；

L＝3，则L2＝9，

即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，

则（）2﹣4（）2＝9，

解得：a＝1或﹣，c＝9或﹣；

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+9或y＝﹣x2﹣6x﹣；

（3）联立y1＝ax﹣2和y2＝并整理得：ax2﹣2x+1＝0，

△＝4a﹣4＝0，解得：a＝1，

当a＝1时，x＝1，故点P（1，﹣1）；

由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得

y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．

因为平移后P（1，﹣1）的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1）

可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．

则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，

即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．

把（1，﹣1）代入，得

（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．

（1++m）2＝﹣b+1．

（1++m）2＝（﹣1）2．

所以1++m＝±（﹣1）．

当1++m＝﹣1时，m＝﹣2（不合题意，舍去）；

当1++m＝﹣（﹣1）时，m＝﹣b，

因为m≥﹣，所以b≤．

所以0＜b≤，

所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣2+b．

即顶点为（，﹣2+b），

设p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1．

因为﹣＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大．

因为0＜b≤，

所以当b＝时，p取最大值为﹣，

此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，﹣）．