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【题目】若二次函数yax2+bx2的图象与x轴交于点A40),与y轴交于点B,且过点C (3,﹣2)

1)求二次函数表达式;

2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且SPBA5,求点P的坐标;

3)在AB下方的抛物线上是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出点My轴的距离;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,点My轴的距离为

【解析】

(1)由待定系数法可求解析式;

(2)设直线BPx轴交于点E,过点PPDOAD,设点P(aa2-a-2),则PD=a2-a-2,利用参数求出BP解析式,可求点E坐标,由三角形面积公式可求a,即可得点P坐标;

(3)如图2,延长BMN,使BN=BO,连接ONABH,过点HHFAOF,由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点N坐标,求出BN解析式,可求点M坐标,即可求解.

(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(40),点C (3,-2),

解得:

∴二次函数表达式为:

(2)设直线BPx轴交于点E,过点PPDOAD

设点P(aa2-a-2),则PD=a2-a-2

∵二次函数y轴交于点B

∴点B(0,-2),

BP解析式为:

a2-a-2=ka2

BP解析式为:y=()x2

y=0时,

∴点E(0),

SPBA=5

SPBA=,

a=-1(不合题意舍去),a=5

∴点P(53);

(3)如图2,延长BMN,使BN=BO,连接ONABH,过点HHFAOF

BN=BO,∠ABO=∠ABMAB=AB

∴△ABO≌△ABN(SAS)

AO=AN,且BN=BO

AB垂直平分ON

OH=HNABON

AO=4BO=2

AB=

SAOB=×OA×OB=×AB×OH

OH=

AH=

cosBAO=

AF=

HF=

OF=AOAF= 4=

∴点H(,-),

OH=HN

∴点N(,﹣)

设直线BN解析式为:y=mx2

∴﹣=m2

m=﹣

∴直线BN解析式为:y=﹣x2

x2x2=﹣x2

x=0(不合题意舍去),x=

∴点M坐标(,﹣),

∴点My轴的距离为

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(元)

……

190

200

210

220

……

(元)

……

65

60

55

50

……

1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.

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对于任意的点E,四边形BEDF都是平行四边形;

当∠ABC>90°时,至少存在一个点E,使得四边形BEDF是矩形;

AB<AD时,至少存在一个点E,使得是四边形BEDF是菱形;

当∠ADB=45°时,至少存在一个点E,使得是四边形BEDF是正方形.

所有正确说法的序号是:_________

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