【题目】若二次函数y=ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,且过点C (3,﹣2).
(1)求二次函数表达式;
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=5,求点P的坐标;
(3)在AB下方的抛物线上是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,点M到y轴的距离为
【解析】
(1)由待定系数法可求解析式;
(2)设直线BP与x轴交于点E,过点P作PD⊥OA于D,设点P(a,a2-a-2),则PD=a2-a-2,利用参数求出BP解析式,可求点E坐标,由三角形面积公式可求a,即可得点P坐标;
(3)如图2,延长BM到N,使BN=BO,连接ON交AB于H,过点H作HF⊥AO于F,由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点N坐标,求出BN解析式,可求点M坐标,即可求解.
(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(4,0),点C (3,-2),
∴,
解得:
∴二次函数表达式为:;
(2)设直线BP与x轴交于点E,过点P作PD⊥OA于D,
设点P(a,a2-a-2),则PD=a2-a-2,
∵二次函数与y轴交于点B,
∴点B(0,-2),
设BP解析式为:,
∴a2-a-2=ka﹣2,
∴,
∴BP解析式为:y=()x﹣2,
∴y=0时,,
∴点E(,0),
∵S△PBA=5,
∵S△PBA=,
∴,
∴a=-1(不合题意舍去),a=5,
∴点P(5,3);
(3)如图2,延长BM到N,使BN=BO,连接ON交AB于H,过点H作HF⊥AO于F,
∵BN=BO,∠ABO=∠ABM,AB=AB,
∴△ABO≌△ABN(SAS)
∴AO=AN,且BN=BO,
∴AB垂直平分ON,
∴OH=HN,AB⊥ON,
∵AO=4,BO=2,
∴AB=,
∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH,
∴OH=,
∴AH=,
∵cos∠BAO=,
∴,
∴AF=,
∴HF=,
OF=AO﹣AF= 4﹣=,
∴点H(,-),
∵OH=HN,
∴点N(,﹣)
设直线BN解析式为:y=mx﹣2,
∴﹣=m﹣2,
∴m=﹣,
∴直线BN解析式为:y=﹣x﹣2,
∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2,
∴x=0(不合题意舍去),x=,
∴点M坐标(,﹣),
∴点M到y轴的距离为.
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【题目】关于二次函数y=x2+2x+3的图象有以下说法:其中正确的个数是( )
①它开口向下;②它的对称轴是过点(﹣1,3)且平行于y轴的直线;③它与x轴没有公共点;④它与y轴的交点坐标为(3,0).
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,一次函数的图象与y轴交于C(0,8),且与反比例函数y=(x>0)的图象在第一象限内交于A(3,a),B(1,b)两点.
⑴求△AOC的面积;
⑵若=4,求反比例函数和一次函数的解析式.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,BC∥AD,BC=AD,点E为AD的中点,点F为AE的中点,AC⊥CD,连接BE、CE、CF.
(1)判断四边形ABCE的形状,并说明理由;
(2)如果AB=4,∠D=30°,点P为BE上的动点,求△PAF的周长的最小值.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AD=6,点E是边CD上的动点(点E不与端点C,D重合),AE的垂直平分线FG分别交AD,AE,BC于点F,H,G.当=时,DE的长为( )
A. 2 B. C. D. 4
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【题目】某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为元时,每天入住的国间数为间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在元之间(含元,元)浮动时,每天人住的房间数(间)与每间标准房的价格(元)的数据如下表:
(元) | …… | 190 | 200 | 210 | 220 | …… |
(元) | …… | 65 | 60 | 55 | 50 | …… |
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.
(2)猜想(1)中的图象是什么函数的图象,求关于的函数表达式,并写出自变量的取值范围.
(3)设客房的日营业额为W (元).若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?
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【题目】在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是边AD上的一个动点(与点A,D不重合),连接EO并延长,交BC于点F,连接BE,DF.下列说法:
① 对于任意的点E,四边形BEDF都是平行四边形;
② 当∠ABC>90°时,至少存在一个点E,使得四边形BEDF是矩形;
③ 当AB<AD时,至少存在一个点E,使得是四边形BEDF是菱形;
④ 当∠ADB=45°时,至少存在一个点E,使得是四边形BEDF是正方形.
所有正确说法的序号是:_________.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠BAD=100°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一个点M、N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
A.130°B.120°C.160°D.100°
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点.F是线段BC延长线上一点,且CF=AE连接BE
(1)发现问题:如图①,若E是线段AC的中点,连接EF,其他条件不变,猜想线段BE与EF的数量关系
(2)探究问题:如图②,若E是线段AC上任意一点,连接EF,其他条件不变,猜想线段BE与EF的数量关系是什么?请证明你的猜想
(3)解决问题:如图③,若E是线段AC延长线上任意一点,其他条件不变,且∠EBC=30°,AB=3请直接写出AF的长度
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