Question

6．如图，已知在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{5}$，sin∠B=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F为线段AE的中点．
求：（1）线段DE的长；
（2）∠CAE的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出BD和CD，即可得出答案；
（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2$\sqrt{5}$）²-AM²=4²-（2$\sqrt{13}$-AM）²，求出AM，求出CM，即可求出答案．

解答 解：（1）如图，连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$，sin∠B=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=4，
由勾股定理得：BD=2，
∴DC=BD=2，BC=4，
∵CE=BC，
∴CE=4，
∴DE=2+4=6；

（2）过C作CM⊥AE于M，
则∠CMA=∠CME=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵由勾股定理得；CM²=AC²-AM²=CE²-EM²，
∴（2$\sqrt{5}$）²-AM²=4²-（2$\sqrt{13}$-AM）²，
解得：AM=$\frac{14\sqrt{13}}{13}$，
CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\frac{14\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∴∠CAE的正切值是$\frac{CM}{AM}$=$\frac{\frac{8\sqrt{13}}{13}}{\frac{14\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定的难度．