Question

2．如图，正方形ABCD中，F为AB边上一点，过点A，C分别作DF的垂线，垂足为G和E，若AG=3，EG=1，则BF的长为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出DG的长进而求出AD，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG+∠CDE=90°，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ADG=∠DCE，
在△DEC和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠DEC}\\{∠GDA=∠ECD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△AGD（AAS），
∴AG=DE=3，
∵EG=1，
∴DG=4，
∴AD=5，
∵∠ADF=∠GDA，∠AGD=∠DAF，
∴△ADG∽△FDA，
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{DG}{AD}$，
即$\frac{3}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
解得：AF=$\frac{15}{4}$，
∴BF=5-AF=5-$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和正方形的性质，得出AD的长是解题关键．