Question

10．如图，直线y=-x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．直线y=-2x+b经过点A，与y轴相交丁点C，在直线AC上是否存在点D，使∠BDA=45°？若存在，求点D的坐标；若不存在．说明理由．

Answer 1

分析 先根据直线AC的性质断定若存在点D，点D必在线段AC上，过O作OE∥BD交AC于点E，过点O作OF⊥AE与点F，在Rt三角形AOF和OEF中用三角函数表示出OF，设出点E的坐标，根据比例关系即可得出点E的坐标，再由BC=OC-OB=2，OC=4，以及BD∥OE得出点D为线段CE的中点，再由中点坐标公式即可得出D点坐标．

解答 解：假设存在，过点O作OE∥BD交AC于点E，过点O作OF⊥AE与点F，如图．

∵直线y=-x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴点A（2，0），点B（0，2）．
∵直线y=-2x+b经过点A，与y轴相交丁点C，
∴有0=-2×2+b，解得b=4，
∴直线AC解析式为y=-2x+4，点C（0，4）．
∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=2，
∴∠OAC＞45°，∠OCA=90°-∠OAC＜45°，
∴点D在线段AC上．
设E点坐标为（m，4-2m）（0＜m＜2）．
在△OAE中，OF=OE•sin∠OEA，OF=OA•sin∠OAE，
又∵OE∥BD，tan∠OAC=2，
∴∠OEA=45°，sin∠OEA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin∠OAE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=$\frac{2×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴OE²=m²+（4-2m）²=${（\frac{4\sqrt{10}}{5}）}^{2}$，
解得：m=$\frac{4}{5}$，或m=$\frac{12}{5}$（舍去），
E点坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
又∵BD∥OE，OB=2，OC=4，
∴B为OC中点，D为CE中点，
∵点C（0，4），点E（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴D点坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
故在直线AC上存在点D，使∠BDA=45°，点D的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数中的动点问题，解题的关键是在△OAE中用角正弦值表示出来高线，即利用证明正弦定理的过程找到比例关系．本题属于中等难度题，失分点是不知如何将角的正弦关系转化为边的关系，在此类问题中要叫学生们明白到，只要作出高线，可以利用正弦函数表示出高，来得到边与角的正弦值之间的关系．