Question

16．在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠ADC和∠BCD的平分线交于点O，
当AB∥CD时（如图1），易证OA=OB；
当AB与CD不平行（如图2，图3）时，其他条件不变，线段OA，OB之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图2的猜想给予证明．

Answer 1

分析 如图1，根据已知条件得到四边形ABCD 是等腰梯形，由等腰梯形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠BCD，根据角平分线的性质得到∠1=∠2=∠3=∠4，推出△AOD≌△BOC，于是得到AO=BO；如图2，延长CO，DO交AB于M，N，连接DM，CN，设∠DAB=∠CBA=α，根据四边形的内角和得到∠ADC+∠BCD=360°-2α，根据角平分线的性质得到∠ODC+∠OCD=180°-α，推出∠DAB=∠CBA=∠COD，得到点A，M，O，D和点B，N，O，C四点共圆，由圆周角定理得到∠OAN=∠MDN，推出△AON∽△DMN，得到$\frac{ON}{AN}=\frac{NM}{DN}$，证得△MON∽△AND，同理△MON∽△MBC，根据相似三角形的传递性得到△AND∽△MBC，求出∠NMO=∠ADN=∠NDC，∠MNO=∠BCM=∠MCD，得到点M，N，D，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠BAO=∠MDO=∠MCN=∠OBA，即可得到结论．

解答 解：如图1，∵AB∥CD，∠DAB=∠CBA，
∴四边形ABCD 是等腰梯形，
∴AD=BC，
∴∠ADC=∠BCD，
∵∠ADC和∠BCD的平分线交于点O，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴OD=OC，
在△AOD与△BOC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠1=∠4}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=BO；
如图2，延长CO，DO交AB于M，N，连接DM，CN，
设∠DAB=∠CBA=α，
∴∠ADC+∠BCD=360°-2α，
∵∠ADC和∠BCD的平分线交于点O，
∴∠ODC+∠OCD=180°-α，
∴∠COD=α，
∴∠DAB=∠CBA=∠COD，
∴点A，M，O，D和点B，N，O，C四点共圆，
∴∠OAN=∠MDN，
∵∠AND=∠AND，
∴△AON∽△DMN，
∴$\frac{ON}{AN}=\frac{NM}{DN}$，
∴△MON∽△AND，
同理△MON∽△MBC，
∴△AND∽△MBC，
∴∠NMO=∠ADN=∠NDC，∠MNO=∠BCM=∠MCD，
∴点M，N，D，C四点共圆，
∴∠BAO=∠MDO=∠MCN=∠OBA，
∴OA=OB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，等腰梯形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．