Question

已知二次函数y=x²-2（m+1）x+m²+5=0的图象过（a，0）和（b，0）．
（1）若（a-1）（b-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC一边长为7，若a、b旳值恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据二次函数与x轴的交点问题得到方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两根分别为a、b，则a+b=2（m+1），ab=m²+5，再由（a-1）（b-1）=28变形得到ab-（a+b）+1=28，则m²+5-2（m+1）+1=28，解得m₁=6，m₂=-4，然后根据判别式的意义确定m的值；
（2）先计算方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的判别式，得到△=8m-16，当a=b，即△=8m+16=0，解得m=2，a+b=6，根据三角形三边的关系可判断m=2不合题意舍去；当△＞0，即m＞2时，把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得m²-28m+40=0，解得m=

28±4 39

2

=14±2

39

，根据判别式的意义得m=14+2

39

，
根据根与系数的关系得a+b=2（m+1）=30+4

39

，于是得到这个三角形的周长=31+4

39

．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²-2（m+1）x+m²+5的图象过（a，0）和（b，0），
∴方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两根分别为a、b，
∴a+b=2（m+1），ab=m²+5，
∵（a-1）（b-1）=28，即ab-（a+b）+1=28，
∴m²+5-2（m+1）+1=28，
整理得m²-2m-24=0，解得m₁=6，m₂=-4，
当m=6时，x²-14x+41=0，△=14²-4×41=32＞0，方程有两个不相等的实数解；
当m=-4时，x²+6x+21=0，△=6²-4×21＜0，方程没有实数解，
∴m的值为6；
（2）x²-2（m+1）x+m²+5=0，
△=4（m+1）²-4（m²+5）=8m-16，
当a=b，即△=8m+16=0，解得m=2，
∴a+b=2（m+1）=6，
∵a+b＜7，所以m=2舍去；
当△＞0，即8m-16＞0，m＞2时，把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得49-14（2m+1）+m²+5=0，
整理得m²-28m+40=0，
解得m=

28±4 39

2

=14±2

39

，
所以m=14+2

39

，
∴a+b=2（m+1）=30+4

39

，
∴这个三角形的周长=7+30+4

39

=31+4

39

．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰三角形的性质和根与系数的关系．