Question

13．若函数y=$\frac{{x}^{2}+3x+5}{{x}^{2}+1}$的最大值是M，最小值是m，则M-m=5．

Answer 1

分析 根据题意把原式变形，根据方程有实根得到△＞0，求出y的范围，得到y的最大值和最小值，计算即可．

解答 解：∵y=$\frac{{x}^{2}+3x+5}{{x}^{2}+1}$，
∴y（x²+1）=x²+3x+5，
∴（1-y）x²+3x+5-0，
△=9-4（1-y）×（5-y）≥0，
即4y²-24y+11≤0，
则（2y-1）（2y-11）≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{11}{2}$，
∴M=$\frac{11}{2}$，m=$\frac{1}{2}$，
M-m=5，
故答案为：5．

点评 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．