Question

11．阅读材料，善于思考的小军在解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y=3①}\\{4x+11y=5②}\end{array}\right.$时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5
    即2（2x+5y）+y=5③
    把方程①代入③得：2×3+y=5
∴y=-1
    把y=-1代入①得x=4
∴方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=5①}\\{9x-4y=19②}\end{array}\right.$
（2）已知x、y满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{5{x}^{2}-2xy+20{y}^{2}=82}\\{2{x}^{2}-xy+8{y}^{2}=32}\end{array}\right.$
    ①求x²+4y²的值；
    ②求$\frac{x+2y}{2xy}$的值．

Answer 1

分析 （1）方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的解；
（2）①方程组第一个方程变形表示出x²+4y²，第二个方程变形后代入求出xy的值，进而求出x²+4y²的值；
②利用完全平方公式及平方根定义求出x+2y的值，再由xy的值，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）由②得：3x+6x-4y=19，即3x+2（3x-2y）=19③，
把①代入③得：3x+10=19，即x=3，
把x=3代入①得：y=2，
则方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$；
（2）①由5x²-2xy+20y²=82得：5（x²+4y²）-2xy=82，即x²+4y²=$\frac{82+2xy}{5}$，
由2x²-xy+8y²=32得：2（x²+4y²）-xy=32，即2×$\frac{82+2xy}{5}$-xy=32，
整理得：xy=4，
∴x²+4y²=$\frac{82+2xy}{5}$=$\frac{82+8}{5}$=18；
②∵x²+4y²=18，xy=4，
∴（x+2y）²=x²+4y²+4xy=18+16=34，即x+2y=±$\sqrt{34}$，
则原式=$\frac{±\sqrt{34}}{2×4}$=±$\frac{\sqrt{34}}{8}$．

点评 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．