Question

【题目】阅读以下两则材料，解决后续问题：

材料一：我们可以将任意三位数记为(其中a,b,c,分别表示该数的百位数字、十位数字和个位数字，且a≠0，显然=100a+10b+c.

材料二：若一个三位数的三个数字均不为0且三个数字互不相等，则称之为原始数，比如123就是一个原始数.将原始数的三个数位数字交换顺序，可产生出5个新的原始数，比如由123可以产生出132、213、231、312、321这5个新原始数.将这6个数相加，得到的和1332称为由原始数123生成的终止数.

问题：（1）求原始数247生成的终止数；

（2）试说明所有的原始数生成的终止数都能被222整除；

（3）若一个原始数生成的终止数为，求满足条件的所有原始数.

Answer 1

【答案】（1）2886；（2）证明见解析；（3）124、142、214、241、412、421.

【解析】

（1）先求出247产生的原始数，再求出6个原始数的和即可；（2）设原始数为=100a+10b+c，可用a、b、c表示出产生的原始数，进而求出终止数，即可得结论；（3）根据各原始数的和与终止数相等，可得出原始数各数位上数字的和，根据三个数字均不为0且三个数字互不相等，写出满足条件的所有原式数即可.

（1）∵由247设原始数为=100a+10b+c，274、427、472、724、742五个原始数，

∴原始数247生成的终止数为247+274+427+472+724+742=2886.

（2）设原始数为=100a+10b+c，

可以产生出100a+10c+b、100b+10a+c、100b+10c+b、100c+10a+b、100c+10b+a五个原始数，

∴它们生成的终止数为：

100a+10b+c+100a+10c+b+100b+10a+c+100b+10c+b+100c+10a+b+100c+10b+a=222(a+b+c)，

∴所有的原始数生成的终止数都能被222整除.

（3）由（2）得原始数生成的终止数为222（a+b+c），

∵一个原始数生成的终止数为1554，

∴222（a+b+c）=1554，

∴a+b+c=7，

∵三个数字均不为0且三个数字互不相等，

∴满足条件的所有原始数为124、142、214、241、412、421.