【题目】如图,抛物线经过点A(﹣2,0),点B(0,4).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)P是抛物线对称轴上的点,联结AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求点P的坐标;
(3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位,所得新抛物线与y轴交于点D,过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E,射线EO交新抛物线于点F,如果EO=2OF,求m的值.
【答案】(1);(2)P(1,); (3)3或5.
【解析】
(1)将点A、B代入抛物线,用待定系数法求出解析式.
(2)对称轴为直线x=1,过点P作PG⊥y轴,垂足为G, 由∠PBO=∠BAO,得tan∠PBO=tan∠BAO,即,可求出P的坐标.
(3)新抛物线的表达式为,由题意可得DE=2,过点F作FH⊥y轴,垂足为H,∵DE∥FH,EO=2OF,∴,∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上,可求得m的值为3或5.
解:(1)∵抛物线经过点A(﹣2,0),点B(0,4)
∴,解得,
∴抛物线解析式为,
(2),
∴对称轴为直线x=1,过点P作PG⊥y轴,垂足为G,
∵∠PBO=∠BAO,∴tan∠PBO=tan∠BAO,
∴,
∴,
∴,
,
∴P(1,),
(3)设新抛物线的表达式为
则,,DE=2
过点F作FH⊥y轴,垂足为H,∵DE∥FH,EO=2OF
∴,
∴FH=1.
点D在y轴的正半轴上,则,
∴,
∴,
∴m=3,
点D在y轴的负半轴上,则,
∴,
∴,
∴m=5,
∴综上所述m的值为3或5.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动.若△POE为等腰三角形,请写出所有符合要求的点P的坐标 .
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【题目】为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).
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【题目】如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°.转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则该扇形内的数字即为转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率;
(2)转动转盘两次,用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=﹣x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是_____.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.
(1)求证:DP是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.
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