Question

【题目】对于任意一个自然数，如果的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数，如果是一个整数的立方，那么称为“立方数”，例如，，所以8是一个立方数．

（1）判断9999是不是方数？729是不是立方数？

（2）若一个两位数各位数字之和是一个“立方数”，并且各位数字相差4，请求出这个两位数；

（3）若自然数既是“方数”又是“立方数”，则称为完美数，请直接写出小于1000的自然数中的所有完美数．

Answer 1

【答案】（1）9999是方数，729是立方数；（2）62或26.（3）27，216.

【解析】

（1）根据“方数”和“立方数”的定义直接判断即可；

（2）首先判断出两位数数位上的数字之和的范围，在此范围内判断出立方数，由此可计算出数位上各数字即可解决问题；

（3）首先判断出1000之内的立方数，再判断出这些立方数中的方数即可解决问题.

（1）∵9+9+9+9=36=62，

∴9999是一个“方数”；

∵729=93，

∴729是一个“立方数”.

（2）可设x，y是一个两位数十位上的数字和个位上的数字（x，y均为整数），则：1≤x≤9，1≤y≤9，

∴2≤x+y≤18，

∵2与18之间的立方数只有8，

∴x+y=8，

∵x-y=4或y-x=4，

∴或

解得或，

所以，这个两位数是62或26.

（2）小于1000的立方数有：8，27，64，125，216，343，512，729，

∴27各数位上数字和=2+7=9=32，

∴27是“方数”；

216各数位上数字和=2+1+6=9=32，

∴216是“方数”；

∴小于1000的“完美数”是27，216.