Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为P，直线与过点B且垂直于轴的直线交于点D，且CP：PD=1：2，tan∠PDB=．

（1）请直接写出A、B两点的坐标：A ， B ；

（2）求这个二次函数的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC-MB|的值最大，则点M的坐标为____．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），A（-1，0）；（2）y=；（3）（1，-）．

【解析】

（1）先求得抛物线的对称轴为x=1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．先求得点C和点P的坐标（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．

解：（1）如图所示：

∵由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，
∴ ．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵点A与点B关于PE对称，
∴点A的坐标为（-1，0）．
故答案是：-1，0；3，0；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．
将x=0代入得：y=c，
∴点C的坐标为（0，c）．
将x=1代入得y=-a+c．
∴点P的坐标为（1，-a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠PDB=，
∴tan∠CPF=tan∠PDB=．
∴ ．
解得a=．
将a=代入抛物线的解析式得：y=x2-x+c．
将点A的坐标代入得：+c=0，解得：c=-．
∴抛物线的解析式为y=．
（3）由三角形的三边关系，|MC-MB|＜AC，
∴当点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 ，
解得，
∴y=-x-，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=-×1-=-，
∴点M的坐标为（1，-）．
故答案是：（1，-）．