Question

【题目】阅读下面材料，完成(1)-(3)题．

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，在△ABC中，BA=BC，．点F在AC上，点E在BF上，．点D在BC 延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180゜．探究线段AD与AE的数量关系并证明．

同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等．”

小亮：“通过观察和度量，发现∠FAE与∠D也相等．”

小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系．”

老师：“保留原题条件，延长图1中的AE，与BC相交于点H(如图2)，若知道DH与AH的数量关系，可以求出的值．”

（1）求证：∠CAD=∠EAB；

（2）求的值（用含k的式子表示）；

（3）如图2，若，则的值为________（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据BA=BC得出∠BAC=∠BCA，再根据三角形外角和的知识与∠ACD+∠DAE=180゜，∠ACD+∠ACB=180゜得出∠DAC=∠BAE；

（2）方法一：过点C做∠ACM=∠ABE，交AD于点M，证明出△AEB∽△AMC，根据相似比得出，，再根据条件求证△DCM∽△AFE，根据相似比得到，AD=AM+DM=进而得出结果；

方法二：过点B做BN∥AC交AE延长线于点N，证明△AFE∽△NBE，△ACD∽△ABN，根据相似比求解即可；

（3）过点B做BN∥AC交AE延长线于点N，求证△AHC∽DHA，利用相似比得到，再由，，得出，设AH=2a，AB=BC=b，

根据EH=AH-AE=EN-NH和相似得出，；再由△ADH∽△NBH，根据以上所求得出，求解b即可．

(1)∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠ACD+∠DAE=180゜，

∠ACD+∠ACB=180゜，

∴∠DAE=∠ACB，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE；

(2)方法一：

过点C做∠ACM=∠ABE，交AD于点M：

∵∠DAC=∠BAE，

∴△AEB∽△AMC，

∴，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∵∠AEF=∠EAB+∠ABE，

∠DMC=∠MAC+∠ACM，

∴∠DMC=∠AEF，

∵∠ACB=∠D+∠DAC，

∠DAE=DAC+∠FAE，

∠DAE=∠ACB，

∴∠D=∠FAE，

∴△DCM∽△AFE，

∴，

∴，

∴AD=AM+DM=，

∴；

方法二：

过点B做BN∥AC交AE延长线于点N：

∴∠N=∠FAE，

∠AFE=∠EBN，

∴△AFE∽△NBE，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵∠ACB=∠D+∠DAC，

∠DAE=DAC+∠FAE，

∠DAE=∠ACB，

∴∠D=∠FAE，

∵∠DAC=∠BAE，

∴△ACD∽△ABN，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）同方法二辅助线

∵∠D=∠CAH，∠AHC=∠DHA，

∴△AHC∽DHA，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

设AH=2a，AB=BC=b，

∴DH=3a, ，

∵NE=2AE，

∴NE=b，

∵EH=AH-AE=EN-NH，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴由方法二相似得：

，

∵△ADH∽△NBH，

∴，

∴，

∴，

∴（舍）， ，

∴；