Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF.

(1)判断四边形AEDF的形状，并证明.

(2)直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

Answer 1

【答案】(1)四边形AEDF是菱形，证明见解析；(2)△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形.

【解析】

(1)由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；

(2)根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形.

解：(1)四边形AEDF是菱形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE＝∠AOF＝90°

∵在△AEO和△AFO中

∵，

∴△AEO≌△AFO(ASA)，

∴EO＝FO，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形

又EF⊥AD，

∴平行四边形AEDF为菱形；

(2)当△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；

∵∠BAC＝90°，

∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).