Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，连接OD，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴∠ODG=∠DGC，

∵DG⊥AC，

∴∠DGC=90°，

∴∠ODG=90°，

∴OD⊥FG，

∵OD是⊙O的半径，

∴直线FG是⊙O的切线．

（2）

解：如图2，

∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，

∴OA=OD=10÷2=5，

由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，

∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，

在△ODF和△AGF中，

∴△ODF∽△AGF，

∴，

∵cosA=，

∴cos∠DOF=，

∴==，

∴AF=AO+OF=5，

∴，

解得AG=7，

∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，

即CG的长是3．

【解析】（1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．