Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，AB=10，AE=3，BF=5，求CE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,梯形中位线定理

专题：

分析：过点O作OG⊥CD于点G，连接OG，由垂径定理可知CG=

1

2

CD，根据点O是AB的中点可知OG是梯形AEFB的中位线，故可得出OG的长，根据勾股定理可得出CG的长，根据勾股定理求出AM长，进而得出结论．

解答：解：过点O作OG⊥CD于点G，连接OG，过A作AM⊥BF于M，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠E=∠F=∠AMF=90°，
∴四边形AEFM是矩形，
∴AE=FM=3，EF=AM，∠AMF=∠AMB=90°，
∴BM=5-3=2，
由勾股定理得：EF=AM=

102-22

=4

6

，
∵点O是圆心，
∴CG=

1

2

CD．
∵点O是AB的中点，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∴OG是梯形AEFB的中位线，
∵AE=3，BF=5，
∴OG=

3+5

2

=4．
在Rt△OCG中，
∵OG=4cm，OC=5cm，
∴CG=

OC2-OG2

=

52-42

=3，
∴CE=

1

2

×4

6

-3=2

6

-3．

点评：本题考查的是垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．