Question

若△DEF是△ABC的外角角平分线围成的三角形．
（1）根据题意，画出△DEF；
（2）依据（1）中的结论判断：当△ABC的形状发生变化时，△DEF是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？并证明你的结论．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据题意即可画出图形；
（2）首先根据三角形外角的性质结合角平分线的定义，求出∠EBC、∠BCE与△ABC的三个内角之间的关系，进而判断出∠E为锐角；同理可证∠D、∠F也为锐角，问题即可解决．

解答：解：（1）图形如下：

（2）设∠A=α，∠B=β，∠C=γ；
∵BE、CF分别是△ABC的外角平分线，∴2∠CBE=α+γ，2∠ACF=α+β；
∵∠BCE=∠ACF，∴2（∠CBE+∠BCE）=（α+β+γ）+α；
∵α+β+γ=180°，∴∠CBE+∠BCE=90°+

1

2

α，
∴∠E=180°-（90°+

1

2

α）=90°-

1

2

α，
即∠E为锐角；同理可证∠D、∠F均为锐角，
∴当△ABC的形状发生变化时，△DEF是锐角三角形．

点评：该题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质及其应用问题；同时还渗透了对作图能力的考查；解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理来解题．