Question

10．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”，例如：
23→2²+3²=13→1²+3²=10→1²+0²=1
91→9²+1²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1．
所以23和91都是“快乐数”．
（1）13是（填“是”或“不是”）“快乐数”；最小的三位“快乐数”是100；
（2）若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，求出这个“快乐数”；
（3）请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16．

Answer 1

分析 （1）由13经过两次运算后结果为1可得出13是“快乐数”，再由100经过一次运算后结果为1结合100为最小的三位数即可得出最小的三位“快乐数”是100；
（2）由一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1可得出该“快乐数”经过一次运算后结果为10或100，将10和100拆分成两个平方数相加的格式即可得出结论；
（3）通过运算可找出16不是“快乐数”，结合“快乐数”在经过若干次运算后仍为“快乐数”即可证出结论．

解答 解：（1）∵13→1²+3²=10→1²+0²=1，
∴13是“快乐数”．
∵100→1²+0²+0²=1，且100是最小的三位数，
∴最小的三位“快乐数”是100．
故答案为：是；100．
（2）∵一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，
∴该两位数经过一次运算为10或100，
∵10=1+9=1²+3²，100=64+36=8²+6²，
∴这个“快乐数”为13、31、68或86．
（3）∵16→1²+6²=37→3²+7²=58→5²+8²=89→8²+9²=145→1²+4²+5²=42→4²+2²=20→2²+0²=4→4²=16，
∴16不是“快乐数”．
∵任意一个“快乐数”经过若干次运算后得到的数都是“快乐数”，
∴任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16．

点评 本题考查了因式分解的应用，读懂题意弄清“快乐数”的判定是解题的关键．