Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标
（4）在x轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函数y＝k1x＋b过点A（－3，0）; C（3，4）

∴ 解得：

∴一次函数关系式为y＝ x＋2

∵正比例函数y＝kx的图象过点为C（3，4）

∴4=-3k2

∴k2= 正比例函数:y＝ x

（2）解：如图所示，作D1M⊥X轴于M点，作D2N⊥Y轴于N，在等腰△AD1B中，

A D1=AB ; ∠D1AB=90° ∠D1DA=∠AOB=90°

∴∠D1AM+∠BAO=90° 又∵∠ABO+∠BAO=90°

∴∠D1AM =∠BAO

在△D1DA与△ OAB中

∠D1AM =∠BAO（已证）

∠D1MA=∠AOB（已证）

A D1=AB （已证）

∴△D1MA≌△OAB（AAS）

∴D1 M=OA=3;AM=BO=2 ∴OM=5

∵D1在第二象限，∴D1(-5,3)

同理证：△D2NB≌△BOA（AAS） ∴D2(-2,5)

（3）解：存在;作C关于X轴对称点C1，连接BC1，交X轴于E，此时△BCE周长最小。

∵ ∴

∴BC1的解析式为：y=-2x+2

令y=0，得0=-2x+2, x=1

∴E点的坐标为（1，0）

（4）解：P （5，0）

P （-5，0）

P (6, 0)

P ( ,0)

【解析】（4）①当OC是腰，O是顶角的顶点时，OP=OC，则点P的坐标为（5，0）或（-5，0）；
②当OC是腰，C是顶角的顶点时，CP=CP，则点P与点O关于x=3对称，则点P的坐标为（6，0）；
③当OC是底边时，设点P的坐标为（a，0），则（a-3）2+42=a2，解得a=，则点P的坐标为（，0）.
综上可知，点P的坐标（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）.
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小，以及对一次函数的图象和性质的理解，了解一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．