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【题目】如图1,抛物线y=x2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),交y轴于点C,点D的坐标为(0,1),直线AD交抛物线于另一点E,点P是第二象限抛物线上的一点,作PQy轴交直线AE于Q,作PGAD于G,交x轴于点H

(1)求线段DE的长;

(2)设d=PQPH,当d的值最大时,在直线AD上找一点K,使PK+EK的值最小,求出点K的坐标和PK+EK的最小值;

(3)如图2,当d的值最大时,在x轴上取一点N,连接PN,QN,将PNQ沿着PN翻折,点Q的对应点为Q,在x轴上是否存在点N,使AQQ是等腰三角形?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.

【答案】(1)8.(2)K(23),最小值为8.(3)满足条件的点N坐标为(65,0)或(,0)或(3,0)或(65,0).

【解析】

试题分析:(1)先求出点A坐标,求出直线AD的解析式,利用方程组求出点E坐标,利用两点间距离公式即可解决问题.

(2)构建二次函数,求出d最大时点P坐标,作EMPQ交PQ的延长线于M,作KNEM于N.只要证明PM就是PK+EK的最小值即可解决问题.

(3)分四种情形如图2中,当QQ=AQ时,QPQ=QPA=30°NPE=NPQ=15°,连接PA,在PF上取一点E,使得PE=EN.设FN=x,则PE=EN=2x,EF=x,列出方程求解即可.如图3中,当N与A重合时AQQ是等腰三角形.此时N(,0).如图4中,当N与B重合时,AQQ是等腰三角形,此时N(3,0).如图5中,当QQ=QA,易知PNF=PQQ=PQQ=15°,在FN上取一点E,使得PE=BE.在RtPEF中解直角三角形即可解决问题.

试题解析:(1)对于抛物线y=x2x+3,

令y=0,得x2x+3=0,解得x=3A(,0),B(3,0),

D(0,1),

设直线AD的解析式为y=kx+b,则有解得

直线AD的解析式为y=x1.

解得点E坐标为(45),

DE==8.

(2)如图1中,设P(m, m2x+3)则Q(m, m1).

tanOAD==∴∠OAD=30°PGAE,∴∠AGH=90°∴∠AHG=PHF=60°

PH=

d=PQPH=m2m+3×m2m+3)=(m+22+

∵﹣<0,

m=2时,d的值最大,P(2,3),

作EMPQ交PQ的延长线于M,作KNEM于N.

∵∠AEM=OAD=30°

KN=EK,QM=EQ,

PK+EK=PK+KNPM,

当K与Q重合时,PK+EK的值最小,

此时K(23),最小值为8.

(3)如图2中,连接PA,在PF上取一点E,使得PE=EN.

PF=3,AF=3tanAFP=∴∠PAF=30°PAQ=60°PF=FQ,AFPQ,

AP=AQ,∴△PAQ是等边三角形,当QQ=AQ时,QPQ=QPA=30°NPE=NPQ=15°

∴∠NEF=30°,设FN=x,则PE=EN=2x,EF=x,PF=3,2x+x=3,x=63

OF=26+3=56,N(65,0).

如图3中,当N与A重合时AQQ是等腰三角形.此时N(,0).

如图4中,当N与B重合时,AQQ是等腰三角形,此时N(3,0).

如图5中,当QQ=QA,易知PNF=PQQ=PQQ=15°,在FN上取一点E,使得PE=BE.

在RtPEF中,PF=3,PEF=30°PE=NE=2PF=6,EF=PF=3

ON=6+5N(65,0).

综上所述,满足条件的点N坐标为(65,0)或(,0)或(3,0)或(65,0).

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