【题目】如图1,抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),交y轴于点C,点D的坐标为(0,﹣1),直线AD交抛物线于另一点E,点P是第二象限抛物线上的一点,作PQ∥y轴交直线AE于Q,作PG⊥AD于G,交x轴于点H
(1)求线段DE的长;
(2)设d=PQ﹣PH,当d的值最大时,在直线AD上找一点K,使PK+EK的值最小,求出点K的坐标和PK+EK的最小值;
(3)如图2,当d的值最大时,在x轴上取一点N,连接PN,QN,将△PNQ沿着PN翻折,点Q的对应点为Q′,在x轴上是否存在点N,使△AQQ′是等腰三角形?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)8.(2)K(﹣2,﹣3),最小值为8.(3)满足条件的点N坐标为(6﹣5,0)或(,0)或(﹣3,0)或(﹣6﹣5,0).
【解析】
试题分析:(1)先求出点A坐标,求出直线AD的解析式,利用方程组求出点E坐标,利用两点间距离公式即可解决问题.
(2)构建二次函数,求出d最大时点P坐标,作EM⊥PQ交PQ的延长线于M,作KN⊥EM于N.只要证明PM就是PK+EK的最小值即可解决问题.
(3)分四种情形①如图2中,当Q′Q=AQ′时,∠Q′PQ=∠Q′PA=30°,∠NPE=∠NPQ′=15°,连接PA,在PF上取一点E,使得PE=EN.设FN=x,则PE=EN=2x,EF=x,列出方程求解即可.②如图3中,当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形.此时N(,0).③如图4中,当N与B重合时,△AQQ′是等腰三角形,此时N(﹣3,0).④如图5中,当Q′Q=Q′A,易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°,在FN上取一点E,使得PE=BE.在Rt△PEF中解直角三角形即可解决问题.
试题解析:(1)对于抛物线y=﹣x2﹣x+3,
令y=0,得﹣x2﹣x+3=0,解得x=﹣3或,∴A(,0),B(﹣3,0),
∵D(0,﹣1),
设直线AD的解析式为y=kx+b,则有解得,
∴直线AD的解析式为y=x﹣1.
由解得或,∴点E坐标为(﹣4,﹣5),
∴DE==8.
(2)如图1中,设P(m,﹣ m2﹣x+3)则Q(m, m﹣1).
∵tan∠OAD==,∴∠OAD=30°,∵PG⊥AE,∴∠AGH=90°,∴∠AHG=∠PHF=60°,
∴PH=,
∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×(﹣m2﹣m+3)=﹣(m+2)2+,
∵﹣<0,
∴m=﹣2时,d的值最大,P(﹣2,3),
作EM⊥PQ交PQ的延长线于M,作KN⊥EM于N.
∵∠AEM=∠OAD=30°,
∴KN=EK,QM=EQ,
∴PK+EK=PK+KN≤PM,
∴当K与Q重合时,PK+EK的值最小,
此时K(﹣2,﹣3),最小值为8.
(3)①如图2中,连接PA,在PF上取一点E,使得PE=EN.
∵PF=3,AF=3,∴tan∠AFP=,∴∠PAF=30°,∠PAQ=60°,∵PF=FQ,AF⊥PQ,
∴AP=AQ,∴△PAQ是等边三角形,当Q′Q=AQ′时,∠Q′PQ=∠Q′PA=30°,∠NPE=∠NPQ′=15°,
∴∠NEF=30°,设FN=x,则PE=EN=2x,EF=x,∵PF=3,∴2x+x=3,∴x=6﹣3,
∴OF=2﹣6+3=5﹣6,∴N(6﹣5,0).
②如图3中,当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形.此时N(,0).
③如图4中,当N与B重合时,△AQQ′是等腰三角形,此时N(﹣3,0).
④如图5中,当Q′Q=Q′A,易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°,在FN上取一点E,使得PE=BE.
在Rt△PEF中,∵PF=3,∠PEF=30°,∴PE=NE=2PF=6,EF=PF=3,
∴ON=6+5,∴N(﹣6﹣5,0).
综上所述,满足条件的点N坐标为(6﹣5,0)或(,0)或(﹣3,0)或(﹣6﹣5,0).
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 延长线段AB与延长线段BA表示同一种含义
B. 延长线段AB到C,使得AC=BC
C. 延长线段AB与反向延长线段BA表示同一种含义
D. 反向延长线段AB到C,使AC=BC
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【题目】计算:
(1)﹣9+(+ )﹣(﹣12)+(﹣5)+(﹣ )
(2)(1﹣1 ﹣ + )×(﹣24)
(3)﹣ + ÷(﹣2)×(﹣ )
(4)﹣14﹣(1﹣ )÷3×|3﹣(﹣3)2|
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形,已知AB=2,BC=1.
(1)求图中以AC为一边的正方形的面积;
(2)AC的长是不是无理数?若是无理数,请求出它的整数部分?
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