△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC．点D．E在直线BC上．如图1.若∠DAE=45°.求证:BD2+CE2=DE2．[阅读理解]要证明BD2+CE2=DE2.可设法将BD.CE.DE转化为某直角三角形的三边即可.故过A作AF⊥AD．且AF=AD．连接CF.EF．再通过证明△ABD≌△AcF.△AED≌△AEF．即可将BD.CE.DE三边转化到直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D．E在直线BC上．如图1，若∠DAE=45°，求证：BD²+CE²=DE²．
【阅读理解】要证明BD²+CE²=DE²，可设法将BD，CE，DE转化为某直角三角形的三边即可，故过A作AF⊥AD．且AF=AD．连接CF、EF．再通过证明△ABD≌△AcF，△AED≌△AEF．即可将BD，CE，DE三边转化到直角△ECF中解决问题．
【拓展应用】如图2，若∠DAE=135°，其他条件不变，请探究：以线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．

分析阅读理解：如图1中，过A作AF⊥AD．且AF=AD．连接CF、EF，由△EAD≌△EAF，推出DE=EF，由∠BAD+∠CAE=45°，∠CAE+∠CAF=45°，推出∠BAD=∠CAE，由△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF=45°，由EF²=EC²+CF²，即可推出DE²=BD²+CE²．
拓展应用：如图2中，结论：以线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是直角三角形．作AF⊥AE，使得AF=AE，连接DF、CF．只要证明△FAC≌△EAB，△DAF≌△DAE，即可解决问题．

解答阅读理解：证明：如图1中，过A作AF⊥AD．且AF=AD．连接CF、EF，

∵∠DAE=45°，∠DAF=90°，
∴∠DAE=∠EAF=45°，
在△EAD和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EA}\\{∠EAD=∠EAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EAF，
∴DE=EF，
∵∠BAD+∠CAE=45°，∠CAE+∠CAF=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ECF=90°，
∴EF²=EC²+CF²，
∴DE²=BD²+CE²．

拓展应用：解：如图2中，结论：以线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是直角三角形．
理由：作AF⊥AE，使得AF=AE，连接DF、CF．

∵∠EAF=∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠EAB，
在△FAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠FAC=∠EAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAC≌△EAB，
∴BE=CF，∠ACF=∠EBA=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∵∠DAE=135°，∠EAF=90°，
∴∠DAF=360°-135°-90°=135°，
∴∠DAF=∠DAE，
∵AD=AD，AF=AE，
∴△DAF≌△DAE，
∴DF=DE，
在Rt△DCF中，∵DF²=DC²+CF²，
∴DE²=DC²+BE²，
∴以线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是直角三角形．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

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