【题目】如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由.
(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合),使得以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=a(x+1)2﹣4与y轴相交于点C(0,﹣3).
∴﹣3=a﹣4,
∴a=1,
∴抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3
(2)
解:△BCM是直角三角形
理由:由(1)有,抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4,
∵顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4,
∴M(﹣1,﹣4),
由(1)抛物线解析式为y=x2+2x﹣3,
令y=0,
∴x2+2x﹣3=0,
∴x1=﹣3,x2=1,
∴A(1,0),B(﹣3,0),
∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+16=20,
∴BC2+CM2=BM2,
∴△BCM是直角三角形
(3)
解:存在,N(﹣1+ , )或N(﹣1﹣ , ),
∵以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等,且点M是抛物线的顶点,
∴①点N在x轴上方的抛物线上,
如图,
由(2)有△BCM是直角三角形,BC2=18,CM2=2,
∴BC=3 ,CM= ,
∴S△BCM= BC×CM= ×3 × =3,
设N(m,n),
∵以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等,
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC,
∴S△ABN=S△BCM=3,
∵A(1,0),B(﹣3,0),
∴AB=4,
∴S△ABN= ×AB×n= ×4×n=2n=3,
∴n= ,
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上,
∴m2+2m﹣3= ,
∴m1=﹣1+ ,m2=﹣1﹣ ,
∴N(﹣1+ , )或N(﹣1﹣ , ).
②如图2,
②点N在x轴下方的抛物线上,
∵点C在对称轴的右侧,
∴点N在对称轴右侧不存在,只有在对称轴的左侧,
过点M作MN∥BC,交抛物线于点N,
∵B(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3,
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4①,
∴M(﹣1,﹣4),
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②,
联立①②得 (舍), ,
∴N(﹣2,﹣3),
即:N(﹣1+ , )或N(﹣1﹣ , )或N(﹣2,﹣3)
【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标,用勾股定理的逆定理即可;(3)根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上,由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM , 然后求出三角形BCM的面积,再建立关于点N的坐标的方程求解即可.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由
(3)求四边形EFGH面积的最小值.
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【题目】在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,…,如此作下去,则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是 .
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;
②连接OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.
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【题目】如图,点A在双曲线y= 上,点B在双曲线y= (k≠0)上,AB∥x轴,分别过点A、B向x轴作垂线,垂足分别为D、C,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为( )
A.12
B.10
C.8
D.6
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cosC= ,求AE的长.
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【题目】甲、乙两列火车分别从A,B两城同时相向匀速驶出,甲车开往终点B城,乙车开往终点A城,乙车比甲车早到达终点;如图所示,是两车相距的路程d(千米)与行驶时间t(小时)的函数的图象.
(1)经过小时两车相遇;
(2)A,B两城相距千米路程;
(3)分别求出甲、乙两车的速度;
(4)分别求出甲车距A城的路程s甲、乙车距A城的路程s乙与t的函数关系式;(不必写出t的范围)
(5)当两车相距200千米路程时,求t的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB= S矩形ABCD , 则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为( )
A.
B.
C.5
D.
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