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【题目】如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).

(1)求抛物线的函数表达式;
(2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由.
(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合),使得以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=a(x+1)2﹣4与y轴相交于点C(0,﹣3).

∴﹣3=a﹣4,

∴a=1,

∴抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3


(2)

解:△BCM是直角三角形

理由:由(1)有,抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4,

∵顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4,

∴M(﹣1,﹣4),

由(1)抛物线解析式为y=x2+2x﹣3,

令y=0,

∴x2+2x﹣3=0,

∴x1=﹣3,x2=1,

∴A(1,0),B(﹣3,0),

∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+16=20,

∴BC2+CM2=BM2

∴△BCM是直角三角形


(3)

解:存在,N(﹣1+ )或N(﹣1﹣ ),

∵以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等,且点M是抛物线的顶点,

∴①点N在x轴上方的抛物线上,

如图,

由(2)有△BCM是直角三角形,BC2=18,CM2=2,

∴BC=3 ,CM=

∴SBCM= BC×CM= ×3 × =3,

设N(m,n),

∵以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等,

∴SABN+SABC=SBCM+SABC

∴SABN=SBCM=3,

∵A(1,0),B(﹣3,0),

∴AB=4,

∴SABN= ×AB×n= ×4×n=2n=3,

∴n=

∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上,

∴m2+2m﹣3=

∴m1=﹣1+ ,m2=﹣1﹣

∴N(﹣1+ )或N(﹣1﹣ ).

②如图2,

②点N在x轴下方的抛物线上,

∵点C在对称轴的右侧,

∴点N在对称轴右侧不存在,只有在对称轴的左侧,

过点M作MN∥BC,交抛物线于点N,

∵B(﹣3,0),C(0,﹣3),

∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3,

设MN的解析式为y=﹣x+b

∵抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4①,

∴M(﹣1,﹣4),

∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②,

联立①②得 (舍),

∴N(﹣2,﹣3),

即:N(﹣1+ )或N(﹣1﹣ )或N(﹣2,﹣3)


【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标,用勾股定理的逆定理即可;(3)根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上,由已知四边形的面积相等转化出SABN=SBCM , 然后求出三角形BCM的面积,再建立关于点N的坐标的方程求解即可.

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