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【题目】在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,…,如此作下去,则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是

【答案】(4031,﹣
【解析】解:∵△OA1B1是边长为2的等边三角形,
∴A1的坐标为(1, ),B1的坐标为(2,0),
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称,
∵2×2﹣1=3,2×0﹣ =﹣
∴点A2的坐标是(3,﹣ ),
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称,
∵2×4﹣3=5,2×0﹣(﹣ )=
∴点A3的坐标是(5, ),
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称,
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称,
∵2×6﹣5=7,2×0﹣ =﹣
∴点A4的坐标是(7,﹣ ),
…,
∵1=2×1﹣1,3=2×2﹣1,5=2×3﹣1,7=2×3﹣1,…,
∴An的横坐标是2n﹣1,
当n为奇数时,An的纵坐标是 ,当n为偶数时,An的纵坐标是﹣
∴△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是(4031,﹣ ),
故答案为:(4031,﹣ ).
首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形,可得A1的坐标为(1, ),B1的坐标为(2,0);然后根据中心对称的性质,分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少;最后总结出An的坐标的规律,求出A2016的坐标是多少即可.

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