如图1.某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷.图2和图3是截面示意图.CD是遮阳篷.窗户AB为1.5米.BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2.该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°.遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住,如图3.该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°.将遮阳篷收缩成CD′时.遮阳篷正好完全不挡� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．
（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）
（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）

分析（1）解直角△ACD，求出CD，再解直角△BCD′，求出CD′，然后计算CD-CD′即可；
（2）图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E．解直角△ECD，求出CE，再计算CE-BC即可．

解答解：（1）在直角△ACD中，∵AC=AB+BC=2米，∠CAD=30°，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$，
∴CD=AC•tan∠CAD=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（米）．
在直角△BCD′中，∵BC=0.5米，∠CBD′=60°，
∴tan∠CBD′=$\frac{CD′}{BC}$，
∴CD′=BC•tan∠CBD′=0.5×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（米），
∴CD-CD′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（米）．
故图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了$\frac{\sqrt{3}}{6}$米；

（2）如图，图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E．
在直角△ECD中，∵CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$米，∠CED=60°，
∴tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$，
∴CE=$\frac{CD}{tan∠CED}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$，
∴BE=CE-BC=$\frac{2}{3}$-0.5=$\frac{1}{6}$（米）．
故该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为$\frac{1}{6}$米．

点评本题考查了解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．在解直角三角形的题目中，应先找到和所求线段相关的线段所在的直角三角形，然后确定利用什么形式的三角函数，最后解直角三角形即可求出结果．

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