Question

14．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，-4），点B（-2，0），点C（4，0）．
（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（0，-4），点B（-2，0），点C（4，0）代入抛物线解析式，组成方程组，即可解答；
（2）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB=∠NBA，分两种情况讨论：
①当点M在点N的上方时，记为M₁，因为∠BAN=∠M₁AB，∠NBA=∠OM₁B，所以△ABN∽△AM₁B，求出AM₁=10，又根据A（0，-4），所以M₁（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M₂，点M₁与点M₂关于x轴对称，所以M₂（0，-6）．

解答 （1）解：∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，-4），点B（-2，0），点C（4，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴这个抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4$，顶点为$（1，-\frac{9}{2}）$．
（2）如图：取OA的中点，记为点N，

∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON=2，
又∵OB=2，
∴OB=ON，
又∵∠BON=90°，
∴∠ONB=45°，
∴∠ACB=∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，
∠NBA+∠OAB=∠ONB，
∴∠OMB=∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M₁，
∵∠BAN=∠M₁AB，∠NBA=∠OM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AB}{A{M}_{1}}$，
又∵AN=2，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AM₁=10，
 又∵A（0，-4）
∴M₁（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M₂，
点M₁与点M₂关于x轴对称，
∴M₂（0，-6），
综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，-6）．

点评 本题考查了二次函数，该函数综合题的难度较大，（2）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．