Question

4．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y₁=x+bk的图象交于A（0，1）、B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和一次函数y₁=x+bk的图象；
（3）把（1）中的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象平移后得到新的二次函数y₂=ax²+bx+c+m（a≠0，m为常数）的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁或y₂，如果y₁≠y₂，函数f的函数值等于y₁、y₂中的较小值；如果y₁=y₂，函数f的函数值等于y₁（或y₂）．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x-1）²，把点A（0，1）代入，利用待定系数法即可求得；
（2）求得一次函数的解析式，在同一坐标系中画出图象即可；
（3）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象平移得到新的二次函数y₂=ax²+bx+c+m（a≠0，m为常数）的图象的过程中，与x轴的交点由两点变为三点，由三点变为两点，从而求得m的取值范围．

解答 解：（1）∵C（1，0）为二次函数图象的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
由抛物线过点A（0，1），可得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x+1；
（2）由直线过点A（0，1），可得bk=1，
∴一次函数为y₁=x+1，
如图：

（3）如图所示：当抛物线的顶点在x轴上时，即m=0时，新函数f的图象与x轴有两个个交点，
当抛物线与直线交于（-1，0）时，
0=（-1）²-2×（-1）+1+m，解得m=-4，
即m=-4时新函数f的图象与x轴有两个交点，

故当新函数f的图象与x轴有三个交点时，m的取值范围为-4＜m＜0．

点评 本题考查了直线与抛物线解析式的求法、二次函数的图象、抛物线和x轴的交点以及抛物线的相关性质的运用．关键是熟练掌握抛物线顶点式与交点式与性质之间的联系．