Question

【题目】（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B=∠C=∠EDF=a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；

（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD=2．

①如图2，当点D在线段BC上时，求的值；

②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．

Answer 1

【答案】（1）△BDE∽△CFD，理由见解析；（2）①；②

【解析】

（1）利用等式的性质判断出∠BED=∠CDF，即可得出结论；

（2）①同（1）的方法判断出△BDE∽△CFD，得出比例式，再设出AE=x，AF=y，进而表示出BE=8-x，CF=8-y，CD=6，代入比例式化简即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论．

（1）△BDE∽△CFD，

理由：∠B=∠C=∠EDF=a，

在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，

∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=180°-α，

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，

∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-α，

∴∠BED=∠CDF，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD；

（2）①设AE=x，AF=y，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=8，

由折叠知，DE=AE=x，DF=AF=y，∠EDF=∠A=60°，

在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，

∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，

∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，

∴∠BED=∠CDF，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BDE∽△CFD，

∴

∵BE=AB-AE=8-x，CF=AC-AF=8-y，CD=BC-BD=6，

∴，

∴，

∴，

∴；

②设AE=x，AF=y，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=8，

由折叠知，DE=AE=x，DF=AF=y，∠EDF=∠A=60°，

在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED=180°，

∴∠BDE+∠BED=180°-∠ABC=120°，

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，

∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，

∴∠BED=∠CDF，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠DBE=∠DCF=120°，

∴△BDE∽△CFD，

∴

∵BE=AB-AE=8-x，CF=AF-AC=y-8，CD=BC+BD=10，

．

∵△BDE∽△CFD，

∴△BDE与△CFD的周长之比为．