Question

4．已知矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，作如下折叠操作．如图1和图2所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P．连接MP．将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．
探究：
（1）如图1，若AM=8cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则∠MA′C的度数为30°；
（2）如图2，若AM=5cm，点P在DC上，点A′落在DC上，
①求证：△MA′P是等腰三角形；
②直接写出线段DP的长．
（3）若点M固定为AB中点，点P由A开始，沿A-D-C方向．在AD，DC边上运动．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为ts，按操作要求折叠．
①求：当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围；
②直接写出当点A′到边AB的距离最大时，t的值；
发现：
若点M在线段AB上移动，点P仍为线段AD或DC上的任意点．随着点M位置的不同．按操作要求折叠后．点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：
不会落在线段DC上，只有一次落在线段DC上，会有两次落在线段DC上．
请直接写出点A′由两次落在线段DC上时，AM的取值范围是4＜AM≤5.8．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得出三角形全等，进而分析AM=A′M=8=2MN，利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据矩形的性质和翻折的性质得出∠A′PM=∠A′MP，再利用等角对等边得出等腰三角形，②根据等腰三角形中边之间的关系得出线段的长度即可；
（3）①根据勾股定理得出t的取值范围；②利用矩形的性质作图进行解答．

解答 解：（1）过点M作MN⊥DC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴MN=BC=4，
∵将△AMP沿着直线MP折叠得到△A′MP，
∴AM=A′M=8=2MN，
∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；
故答案为：30°；
（2）①∵A′P与AM是矩形ABCD的对边CD，AB的一部分，
∴A′P∥AM，
∴∠A′PM=∠AMP，
由翻折的性质得：∠AMP=∠A′MP，
∴∠A′PM=∠A′MP，
∴A′P=A′M，
∴△MA′P是等腰三角形；
②∵△MA′P是等腰三角形，
∴PM=AM=A′M=5，
∵DA=4，
∴DP=5-2=3
∴线段DP的长是3cm；
（3）①当点P在AD上，点A′落在DC上时，如图1所示，
过点M作MN⊥DC交DC于点N，
则四边形AMND为矩形，DN=AM=5cm，MN=4cm，
设AP为xcm，则由翻折的性质得：
AM=A′M=5cm，AP=A′P=xcm，
在Rt△A′MN中，A′N=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$cm，
∴DA′=DN-A′N=5-3=2（cm），
在Rt△A′PD中，
A′P²=A′D²+PD²，
即：x²=2²+（4-x）²，
解得：x=2.5，
此时t=2.5s；
当点P在AD上，点A′落在DC上时，如图1，
可知DP=3cm，此时，t=7s，
当MA′与DC有交点时，t的取值范围是：2.5≤t≤7，
②当点A′到边AB的距离最大时，
即A′M⊥AB时，t的值为5s，
发现：当点A的落点A′，在以M为圆心，MA为半径的圆上，当圆M与线段CD有唯一交点时，如图2所示，

此时AM=4cm，
当圆M交线段CD于点C时，如图3所示

AM=5.8cm，
所以：4＜AM≤5.8，
故答案为：4＜AM≤5.8

点评 此题考查几何变换问题，用到的知识点是等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，关键是利用折叠的前后图形全等进行分析，同时利用矩形的性质和等腰三角形的判定和性质进行解答．