Question

19．如图，正方形ABCD的面积为20，对角线AC、BD相交于点O，点E是边CD的中点，过点C作CF⊥BE于F，连接OF，则OF的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在Rt△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．

解答 解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=2$\sqrt{5}$，DE=EC=$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵BC²=BF•BE，
则（2$\sqrt{5}$）²=BF•5，解得：BF=4，
∴EF=BE-BF=5-4=1，
∵CF²=BF•EF=4，
∴CF=2，
∴GF=BF-BG=BF-CF=4-2=2，
在等腰直角△OGF中
OF²=$\frac{1}{2}$GF²，
∴OF=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．