Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若cos∠BAC= ，⊙O的半径为6，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接BD、OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵BA=BC，

∴D为AC中点，又O是AB中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∴∠BFE=∠ODE，

∵DE⊥BC，

∴∠BFE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴直线DE是⊙O的切线

（2）

解：

∵⊙O的半径为6，

∴AB=12，

在Rt△ABD中，cos∠BAC= = ，

∴AD=4，

由（1）知BD是△ABC的中线，

∴CD=AD=4．

【解析】（1）连接BD、OD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到BD与AC垂直，又BA=BC，利用等腰三角形的三线合一性质得到D 为AC的中点，又O为AB的中点，可得出OD为三角形ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到OD与BC平行，由EF垂直于BC，得到EF垂直于OD， 可得出EF为圆O的切线；（2）由圆的半径为6，求出直径AB为12，在直角三角形ABD中，由cos∠BAC的值及AB的长，求出AD的长，再由第一问 得到D为AC的中点，得到CD=AD，即可求出CD的长．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．