Question

10．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，动点P从点D出发，以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒4个单位的速度向点D匀速运动，运动的时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）连接CQ，当t为何值时CQ=BC；
（2）连接AP，BQ，若BQ⊥AP，求△ABP的面积；
（3）求证：PQ的中点在△ABD的一条中位线上．

Answer 1

分析 （1）用t表示出AQ、DQ的长，根据勾股定理求出CQ的长，根据题意列出等式，求出时间t；
（2）过点P作PE⊥AD，根据△DEP∽△DAB和△BAQ∽△AEP，求出AE的长，得到答案；
（3）过点P作PF⊥AB，连接QF、DF，DF交PQ于O，得到四边形QFPD为平行四边形，得到点O是PQ的中点，再证明MN是△ABD的中位线即可．

解答 解：（1）∵AQ=4t，AD=8，∴DQ=8-4t．
又∵AB=6，∴由勾股定理得：
CQ=$\sqrt{{6^2}+（8-4t{）^2}}$
=$\sqrt{16{t^2}-64t+100}$，
∵CQ=BC，
∴$\sqrt{16{t^2}-64t+100}$=8，
解得：t=2-$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
（2）如图1，过点P作PE⊥AD，垂足为E，

∴AB∥PE，
∴△DEP∽△DAB，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{PE}{AB}=\frac{DP}{DB}$，
∴$\frac{DE}{8}=\frac{PE}{6}=\frac{5t}{10}$，
∴DE=4t，EP=3t，
∴AE=8-4t，
又∵BQ⊥AP，AB⊥AD，
∴∠ABQ+∠BAP=90°，∠EAP+∠BAP=90°，
∴∠ABQ=∠EAP．∵∠BAQ=∠APE，
∴△BAQ∽△AEP，
∴$\frac{BA}{AE}=\frac{AQ}{PE}$，即$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，
解得：t=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$，
∴△ABP的面积为$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$．
（3）如图2，过点P作PF⊥AB，垂足为F，连接QF、DF，DF交PQ于O．  
 
∴AD∥PF，∴△PFB∽△DAB，
∴$\frac{PF}{AD}=\frac{BP}{DB}$，
∴$\frac{PF}{8}=\frac{10-5t}{10}$，
∴PF=8-4t，
∴PF=DQ，
∴四边形QFPD为平行四边形，
∴点O是PQ和DF的中点，
过点O作MN∥AB交AD、BD于M、N两点，则$\frac{DM}{AM}=\frac{OD}{OF}=1$．
∴M是AD的中点，同理N是BD的中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴PQ的中点O在△ABD的中位线MN上．

点评 本题是四边形的综合应用题，要正确运用平行四边形的对角线互相平分、三角形中位线的定义和性质、勾股定理和相似三角形的性质，能够用运动的观点分析问题．