Question

15．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，连接CD．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得∠A=∠ODB，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，通过解余弦函数求得BC，从而得出圆的半径，进而根据S_阴影=S_扇形OCD-S_△OCD即可求得．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．又∵∠A=∠B=30°，
∴∠A=∠ODB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）解：∵BC 为直径，
∴∠BDC=90°．
根据等腰三角形的三线合一性质得到CD是AB的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形BDC中，cosB═$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{BC}$，
解得BC=4，
S_阴影=S_扇形OCD-S_△OCD=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$2×\sqrt{3}$=$\frac{2π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数以及扇形的面积等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．