Question

6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$-x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；
（2）根据抛物线解析式y=$\frac{1}{2}{x^2}$-x+2易求D（4，6），由直线y=$\frac{1}{2}$x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．

解答 解：（1）∵抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}-x+2$与y轴交于点A，?
∴点A的坐标为（0，2）．   
∵$y=\frac{1}{2}{x^2}-x+2=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{3}{2}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）．  
又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵直线BC经过点B（1，$\frac{3}{2}$）和点C（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\frac{3}{2}}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=1.\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1；

（2）∵抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$-x+2中，当x=4时，y=6，
∴点D的坐标为（4，6）． 
∵直线y=$\frac{1}{2}$x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，
∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．

设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，
此时t=1．
当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．
结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．