Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM分别交EF于点G，H，连接CH．
（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；
（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；
（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的判定方法得出四边形AEFD是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出答案；
（2）利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可；
（3）利用当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b时，由题意得出MC=BM=$\frac{1}{2}$b，AM=b，则MG=$\frac{1}{2}$b，进而利用（2）中所求得出答案．

解答 （1）解：GH=$\frac{1}{2}$b，是定值，
理由：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE∥DF且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF∥BC，
∴$\frac{AG}{MG}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{DH}{MH}$，
∴AG=MG，DH=MH，
∴GH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$b，是定值；

（2）证明：∵点M为BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b，
∵GH=$\frac{1}{2}$b，
∴GH=CM，
又∵GH∥CM，
∴四边形GMCH是平行四边形；

（3）解：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b时，四边形GMCH是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．