Question

【题目】如果一个三角形的三边a，b，c能满足a2+b2=nc2（n为正整数），那么这个三角形叫做“n阶三角形”．如三边分别为1、2、的三角形满足12+22=1×（）2，所以它是1阶三角形，但同时也满足（）2+22=9×12，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．

（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？

（2）若三边分别是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一个2阶三角形，求a：b：c．

（3）如图1，直角△ABC是2阶三角形，AC＜BC＜AB，三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：

A同学：是2阶三角形但不是直角三角形；

B同学：是直角三角形但不是2阶三角形；

C同学：既是2阶三角形又是直角三角形；

D同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形．

请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．

（4）如图2，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数y=（k＞0）的图象与直线AC、直线BC交于点E、D，若△ODE是5阶三角形，直接写出所有可能的k的值．

Answer 1

【答案】(1)证明见原书；（2）a：b：c=1：：；(3)C同学猜想正确，证明见解析；（4）满足题意k的值为1，4，7，．

【解析】

试题分析：（1）等腰直角三角形为3阶三角形，根据题中的新定义验证即可；

（2）根据题中的新定义列出关系式，再利用勾股定理列出关系式，即可确定出a，b，c的比值；

（3）C同学猜想正确，由直角△ABC是2阶三角形，根据（2）中的结论得出AC，BC，AB之比，设出三边，表示出AE，BD，CF，利用题中的新定义判断即可；

（4）根据图形设出E与D坐标，利用勾股定理表示出OE2，OD2以及ED2，由△ODE是5阶三角形，分类讨论列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值

试题解析：（1）等腰直角三角形一定是3阶三角形，

理由为：设等腰直角三角形两直角边为a，a，

根据勾股定理得：斜边为a，则有a2+（a）2=3a2，即等腰直角三角形一定是3阶三角形；

（2）∵△ABC为一个2阶直角三角形，∴c2=a2+b2，且c2+a2=2b2，

两式联立得：2a2+b2=2b2，整理得：b=a，c=a，则a：b：c=1：：；

（3）C同学猜想正确，

证明如下：如图，∵△ABC为2阶直角三角形，∴AC：BC：AB=1：：，

设BC=2，AC=2，AB=2，∵AE，BD，CF是Rt△ABC的三条中线，

∴AE2=6，BD2=9，CF2=3，∴BD2+CF2=2AE2，AE2+CF2=BD2，

∴BD，AE，CF所构成的三角形既是直角三角形，又是2阶三角形；

（4）根据题意设E（k，1），D（2，），则AE=k，EC=2﹣k，BD=，CD=1﹣，OA=1，OB=2，

根据勾股定理得：OE2=1+k2，OD2=4+，ED2=（2﹣k）2+（1﹣）2，

由△ODE是5阶三角形，分三种情况考虑：

当OE2+OD2=5ED2时，即1+k2+4+=5[（2﹣k）2+（1﹣）2]，

整理得：k2﹣5k+4=0，即（k﹣1）（k﹣4）=0，解得：k=1或k=4；

当OE2+ED2=5OD2时，（2﹣k）2+（1﹣）2+1+k2=5（4+），

整理得：k2﹣5k﹣14=0，即（k﹣7）（k+2）=0，

解得：k=7或k=﹣2（舍去）；

当OD2+ED2=5OE2时，4++（2﹣k）2+（1﹣）2=5（1+k2），

整理得：7k2+10k﹣8=0，即（7k﹣4）（k+2）=0，

解得：k=或k=﹣2（舍去），

综上，满足题意k的值为1，4，7，．