Question

【题目】在△ABC 中，AE、BF 是角平分线，交于 O 点.

（1）如图 1，AD 是高，∠BAC＝90°，∠C＝70°，求∠DAC 和∠BOA 的度数；

（2）如图 2，若 OE＝OF，求∠C 的度数；

（3）如图 3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求 S△AOB.

Answer 1

【答案】（1）∠DAC=20°，∠BOA=125° （2）60° （3）10

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据角平分线的定义得到∠ABO=30°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM=ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM=∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AB= =10，根据三角形的面积公式得到CF，求得AF，得到S△ABF=S△ABC-S△BCF，根据角平分线定理得到，求得=3，于是得到结论．

（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO=30°，
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°；
（2）如图2：连接OC，
∴AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF=∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM=ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，

，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM=∠FON，
∴∠MON=∠EOF=180°-∠C，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB=90°+∠ACB，
即90°+∠ACB=180°-∠ACB，
∴∠ACB=60°；

（3）∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
∴AB==10，
∵AE是角平分线，
∴ ，
∴BE=5，CE=3，
∵S△CEF=ECCF=×3CF=4，
∴CF= ，
∴AF= ，
∵S△ABC=BCAC=×8×6=24，
∴S△ABF=S△ABC-S△BCF=24-×8×=

∵AE平分∠BAC，
∴

∴=3，

∴
∴S△AOB==10．