Question

11．已知：抛物线y=ax²+bx-4a交x轴于点A（-1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说理由；若存在，求出点P的坐标．
（3）点D坐标为（1，-1），连接AD，将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN（点M，N分别与点A、D对应），使点M、N都在抛物线上，求点M、N的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，2）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，进而求出点B的坐标，即可求出直线BC的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则Q（x，-$\frac{1}{2}$x+2）；求出PQ的长，利用S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB列出S关于x的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点P的坐标；
（3）作辅助线，根据线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN可知：旋转后的MN与AD平行且相等，构建全等三角形：△ADG≌△MNG，根据A、D两点的坐标发现，N点向下平移1个单位再向右移动两个单位得M，设N的坐标为：设N（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$），根据平移规律表示M（m+2，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-1），代入抛物线的解析式即可求m的值，并计算出M、N的坐标．

解答 解：（1）依题意，有：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）∵抛物线y=ax²+bx-4a交x轴于点B，
∴B（4，0），
∴直线BC：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
如图1，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则Q（x，-$\frac{1}{2}$x+2）；
∴PQ=（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+2x）×4=-（x-2）²+4；
当x=2时，S有最大值，
当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$×4+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴当P（2，3）时，△PCB的面积最大；
（3）如图2，过D作DG⊥x轴于G，过N作NH∥y轴，过M作MH∥x轴，交于H，
由题意得：△ADG≌△MNG，
∵A（-1，0），D（1，-1），
∴AG=2，DG=1，
∴NH=DG=1，MH=AG=2，
设N（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$），则M（m+2，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-1），
把M的坐标代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2中得：
-$\frac{1}{2}$（m+2）²+$\frac{3}{2}$（m+2）+2=-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-1，
解得：m=1，
当m=1时，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$=-$\frac{1}{2}$×1+$\frac{3}{2}$+2=3，
∴N（1，3），M（3，2）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形全等的判定等知识，解答（2）问关键是用x表示出PQ的长，解答（3）问关键是作辅助线，构建全等三角形，利用坐标关系发现规律，此题有一定的难度．