【题目】如图,对称轴为直线的抛物线与轴交于、,与轴交于点,抛物线顶点为,直线交轴于点.
(1)求抛物线函数表达式;
(2)若点是位于直线下方抛物线上的一动点,以、为相邻的两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时平行四边形的面积及点的坐标;
(3)在线段上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)平行四边形PBFD的面积S为2,P(2,-3);(3)存在.点G的坐标为.
【解析】
(1)先设抛物线的顶点式,然后利用待定系数法,即可求出解析式;
(2)根据题意,先求出BD的解析式,当PF的值最大时,面积取到最大值,即可得到答案;
(3)先证明,设点G的坐标为,利用三角函数值,求出t的值,即可得到点G的坐标.
解:(1)设抛物线为
把A(1,0),C(0,3)代入得
得:,
,
即;
(2)设直线BD为y=kx+b,如图,过点P作PF⊥x轴交直线BD于F,
将点(1,4)、(3,0)代入y=kx+b中,
解得,k=2,b=6,
∴BD解析式为y=2x-6,
设点P(a,a2-2a-3),则F(a,2a-6),
则PF=2a-6-(a2-2a-3)
=-a2+4a-3
当a=2时,PF有最大长度1,
∴S△PBD最大=S△PBF+S△PDF
=PF2=1
∴以PB、PD为相邻的两边作平行四边形PBFD,当平行四边形MANB的面积最大时,
S最大=2S△PBD最大=2×1=2,
∴P(2,-3);
(3)存在.如图2,
由B(3,0),C(0,-3),D(1,-4)可知,
BC=,CD=,BD=,
∵,即,
∴,
∴,
∵点G在线段BD上,所以设点G的坐标为,
过点G作GH⊥y轴于点H,当tan∠GCH=3时,∠BDC=∠GCE,
解得:
∴,
∴点G的坐标为:.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,AB=4,C为半圆AB的中点,P为上一动点,延长BP至点Q,使BPBQ=AB2.若点P由A运动到C,则点Q运动的路径长为_____.
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【题目】为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召,某社区决定购置一批共享单车,经市场调查得知,购买3量男式单车与4辆女式单车费用相同,购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元.
(1)求男式单车和女式单车的单价;
(2)该社区要求男式单比女式单车多4辆,两种单车至少需要22辆,购置两种单车的费用不超过50000元,该社区有几种购置方案?怎样购置才能使所需总费用最低,最低费用是多少?
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【题目】为进一步提升教育教学质量,调动学生学习的兴趣,某校在七年级学生中开展了对语文、数学、英语、历史、地理这五门课程的兴趣爱好情况的调查,以便采取必要教学改革,激发学生对各学科的兴趣爱好.随机选取该年级部分学生进行调查,要求每名学生从中选出一门最感兴趣的课程(每名学生只能选一门,不能多选),以下是根据调查结果绘制的不完整统计图表:
课程代号 | |||||
课程名称 | 语文 | |数学 | 英语 | 历史 | 地理 |
最感兴趣人数 | 12 | 30 | 54 | 9 |
请你根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查学生的总数为______人,______,______;
(2)被调查学生中,最喜爱课程的“众数”是______;
(3)若该年级共有800名学生,请估计该年级对语文最感兴趣的学生人数.
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【题目】在矩形中,分别以,所在直线为轴,轴,建立如图所示的平面直角坐标系.是边上一个动点(不与,重合),过点的反比例函数的图象与边交于点,已知,,将沿折叠,点恰好落在边上的点处,则________.
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【题目】(1)尝试探究
如图①,在中,,,点,分别是边上的点,且.
①的值为________;
②直线与直线的位置关系为________;
(2)类比延伸
如图②,若将图①中的绕点顺时针旋转,连接,则在旋转的过程中,请判断的值及直线与直线的位置关系,并说明理由;
(3)拓展运用
若,在旋转过程中,当三点在同一直线上时,请直接写出此时线段的长.
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【题目】如图,钝角△ABC中,AB=AC,BC=2,O是边AB上一点,以O为圆心,OB为半径作⊙O,交边AB于点D,交边BC于点E,过E作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:EF⊥AC.
(2)连结DF,若∠ABC=30°,且DF∥BC,求⊙O的半径长.
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【题目】某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班,为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表
最受欢迎兴趣班调查问卷 | 统计表 | |||||
选项 | 兴趣班 | 请选择 | 兴趣班 | 频数 | 频率 | |
A | 绘画 | A | 0.35 | |||
B | 音乐 | B | 18 | 0.30 | ||
C | 舞蹈 | C | 15 | |||
D | 跆拳道 | D | 6 | |||
你好!请选择一个(只能选一个)你最喜欢的兴趣班,在其后空格内打“√”,谢谢你的合作. | 1 | |||||
请你根据统计表中提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中的 , ;
(2)根据调查结果,请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣的人数;
(3)王姝和李要选择参加兴趣班,若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一类的概率.
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【题目】如图,小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°.若瞭望台DE垂直于江面,它的高度为3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡长BC=10米.
(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,cot40°≈1.19)
(1)求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离;
(2)求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离.(结果保留一位小数)
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