Question

20．设x₁、x₂是方程x²-x-2015=0的两实数根，则${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2015．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到x₁²-x₁-2015=0，即x₁²=x₁+2015，则x₁³=2016x₁+2015，所以${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2015（x₁+x₂），然后根据根与系数的关系求解．

解答 解：∵x₁是方程x²-x-2015=0的根，
∴x₁²-x₁-2015=0，即x₁²=x₁+2015，
∴x₁³=x₁²+2015x₁=x₁+2015+2015x₁=2016x₁+2015，
∴${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2016x₁+2015-（x₁+2015）+2015x₂=2015（x₁+x₂），
∵x₁、x₂是方程x²-x-2015=0的两实数根，
∴x₁+x₂=1，
∴${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2015．
故答案为2015．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．