Question

10．如图，BD是?ABCD的对角线，E、F分别为BD上两点，AC交BD于O．
（1）请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明；
（2）在问题（1）中，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得一边相等、一角相等，然后找到另外一个相等的角或相等的边即可证明全等；
（2）首先得到四边形AECF是平行四边形，然后利用对角线相等的四边形是矩形即可判定．

解答 证明：（1）添加条件AE=CF即可证得△ABE≌△CDF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABD=∠CDB}\\{BE=DF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CDF；


（2）当AC=EF时，四边形AECF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠EAO=∠FCO，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

点评 此题主要考查了矩形形的判定．矩形的判别方法是说明一个四边形为矩形形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四角相等；③对角线相等．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．